等额本息公式和等额本金公式推导过程

如果你贷款的话肯定会涉及一个问题,那就是还款的方式。主要有两个:一个是等额本金,一个就是等额本息。

今天重点说一下等额本息公式推导的过程如果你和我一样较真的话,一定要看懂这个公式

简单介绍下等额本金:

等额本金:等额本金是指一种贷款的还款方式,是在还款期内把贷款数总额等分,每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息,这样由于每月的还款本金额固定,而利息越来越少,借款人起初还款压力较大,但是随时间的推移每月还款数也越来越少。

栗子

张先生借款100万,20年还清,年利率6.15%,则月利率为0.5125%。

假设等额本金,则月还款本金为:100万/240个月,即每月为4167元;

(1)第一个月还款利息为:100万*0.5125%=5125元,则第一个月的实际还款额为4167+5125=9625元。

(2)第二个月剩余本金为100万-4167=995833元,则第二个月要还的利息为:

995833*0.5125%=5103.64元,则第二个月的实际还款额为4167+5103.64=9270.64元。

以此类推:等额本金下20年共还款约161.7万元,共支付利息61.7万元。

等额本金其实很好理解,就是随着每次的本金减少利息也在减少,计算方法也很简单很容易理解。

公式:

月还款额=本金/n+剩余本金*月利率

总利息=本金*月利率*(贷款月数/2+0.5)

等额本金还款公式的推导过程:

我们设贷款额为a,月利率为i,年利率为I,还款月数为n,每月还款额为b,还款利息总和为Y

总利息Y=总贷款数a×月利率i×(还款次数n+1)÷2等额本金还款方式比较简单。顾名思义,这种方式下,每次还款的本金还款数是一样的。

因此:当月本金还款a'=a÷n
当月利息=上月剩余本金(a-ax/n)×月利率i=总贷款数a×(1-(还款月数n-1)÷还款次数n)×月利率i

当月月还款额=当月本金还款+当月利息 =总贷款数a×(1÷还款次数n+(1-(还款次数n-1)÷还款次数n)×月利率i)
总利息=所有利息之和 =总贷款数a×月利率i×(还款次数n-(1+2+3+。。。+还款次数n-1)÷还款次数n)

其中1+2+3+…+还款次数-1是一个等差数列,其和为(1+还款次数-1)×(还款次数-1)/2=还款次数×(还款次数-1)/2 ——由等差数列求和公式n(n+1)/2

所以,经整理后可以得出: 总利息Y=a×i×(n+1)÷2
由于等额本金还款每个月的本金还款额是固定的,而每月的利息是递减的,因此,等额本金还款每个月的还款额是不一样的。开始还得多,而后逐月递减。

下面重点看等额本息

等额本息:等额本息是在还款期内,每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)。简单来说就是每月还款一样多,但是每个月还款中本金所占比例越来越大。

还是上面的栗子

如果是等额本息,借款100万元,20年还清,年利率6.15%,月利率0.5125%,则每月还款额(含本、息)为7251.12元。

(1) 第一个月计算出的利息同样为5125元,第一个月只归还了本金7251.12-5125=2126.12元;

(2) 第二个月计息的基础是上个月的本金余额,即100万-2126.12=997873.8元,则第二个月应还的利息是5114.10元,即第二个月归还的本金为2137.01元

以此类推:等额本息下,20年共还款约174万元,共支付利息74万元。

这里面有个蛋疼的问题,就是每月还款7251.12元是怎么来的???

这里面涉及一个恶心的公式dengebenxi

P:贷款本金    R:月利率    N:还款期数    其中:还款期数=贷款年限×12

那么今天的重点来了:等额本金公式如何推导出来的?

我们设贷款额为a,月利率为i,年利率为I,还款月数为n,每月还款额为b,还款利息总和为Y

1:I=12×i

2:Y=n×b-a

3:第一月还款利息为:a×i
第二月还款利息为:〔a-(b-a×i)〕×i=(a×i-b)×(1+i)^1+b
第三月还款利息为:{a-(b-a×i)-〔b-(a×i-b)×(1+i)^1-b〕}×i=(a×i-b)×(1+i)^2+b
第四月还款利息为:=(a×i-b)×(1+i)^3+b
.....
第n月还款利息为:=(a×i-b)×(1+i)^(n-1)+b
求以上和为:Y=(a×i-b)×〔(1+i)^n-1〕÷i+n×b

4:以上两项Y值相等求得
月均还款:b=a×i×(1+i)^n÷〔(1+i)^n-1〕——也就是我们开始提到的恶心的公式
支付利息:Y=n×a×i×(1+i)^n÷〔(1+i)^n-1〕-a
还款总额:n×a×i×(1+i)^n÷〔(1+i)^n-1〕

〔(1+i)^n-1〕÷i由等比求和数列公式 (q^n-1)/(q-1)

说明:等额本息公式 小三角是n次方的意思,也就是(1+i)^n这个代表(1+i)的n次方


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